Su di una tavoletta  di legno è vincolata un segmento di retta inclinato rispetto alla tavoletta stessa.

Al ruotare della tavoletta, riuscirà il segmento di retta a passare nella feritoia?

Certo, questo dipende dal fatto che la retta, girando, descrive una superficie di rotazione che è una quadrica rigata, e interseca il piano giallo in un'iperbole; i tagli sono stati fatti lungo due rami di tale iperbole.

Ancora una superficie costituita da tante semirette…

Si può vedere che essa taglia il cilindro lungo una curva (spirale) che si chiama elica circolare.

Il secondo modello (due elicoidi sovrapposti) rappresenta il Pozzo di San Patrizio di Orvieto.

I due colori  corrispondono alle due rampe di scale sovrapposte. Una serve per scendere l’altra per salire. Due persone che percorrono scale diverse non si incroceranno pur vedendosi in lontananza.

Si può costruire prendendo una striscia di carta lunga  con orli paralleli e ruotando un estremo di 180°.

Si avvicinano gli estremi e si uniscono. Il risultato è una superficie con un solo lato (unilatera) e che ha un solo orlo che la limita.

Questa curva viene chiamata “nastro di Moebius” dal nome del geometra che per primo ne ha scoperto le proprietà. Qualsiasi punto sul nastro può venire unito a qualsiasi altro suo punto con una curva che appartiene tutta al nastro (e senza attraversare l’orlo).

Si può provare a seguire il percorso di una formica che cammina sulla striscia…. 

Tagliando il nastro al centro con una retta parallela ai due orli del nastro, si può osservare un'interessante proprietà del nastro.                                                         

In questo modello è rappresentata una superficie formata da tante rette, detta quadrica rigata.

Anche se sembra strano essa è “veramente” curva come si vede nel modello. 

Il piano tangente in un punto della curva la taglia in due rette  (rappresentate dal filo rosa). In questo caso il punto di tangenza si chiama punto iperbolico.

Se si prova a mettere una pallina delicatamente dentro questa superficie, girando in un verso la pallina fuoriesce dalla bottiglia, nell'altro verso rimane intrappolata dentro.

Modello di Klein 2

Questo oggetto strano che si vede, costruito utilizzando due imbuti, un tubo di gomma e della plastica trasparente è un modello della bottiglia di Klein.

È una superficie costituita da una sola faccia, tale cioè che seguendo una linea continua si può raggiungere qualsiasi punto della figura.

La situazione è diversa rispetto a quello di una sfera, che possiede due superfici, interna ed esterna, separate tra loro e tali che non è possibile passare dall’una all’altra senza fare buchi.