Lezione n.3

Applicazioni della distribuzione di Boltzmann

1.  La distribuzione delle velocità molecolari

C’è poco da dire al riguardo: bisogna fare la trattazione matematica completa. L’unica cosa interessante è che per la prima volta si ha l’occasione di dare una forma e un’espressione concreta alla nozione, fin qui vaga, di "foglio" di energia costante. Ci sono un po’ d’integrali fastidiosi da calcolare, ma non credo sia grave dare i risultati senza dimostrazione, soprattutto se il parametro beta della distribuzione è già stato posto uguale a 1/kT.

Bibliografia

M. Born, cit., Cap. I, pagg. 25-27

G. Toraldo di Francia, cit., pagg. 292-294

G. Castelnuovo, cit, . pagg. 288-291

EDUMAT: Dalla pietra al microchip, cit., sezione 2.7

2.  Il principio di equipartizione dell’energia

C’è un modo semplice per giustificarlo matematicamente? Io non lo conosco. Se non è possibile ci si deve limitare a scrivere l’espressione della media e dire che, in qualche modo, dall’identità formale dei termini presi in esame, si arriva a valori uguali degli integrali. Anche qui non mi preoccuperei troppo per la mancanza di una dimostrazione completa.

Al limite si può procedere per tappe. Che l’energia si distribuisca in modo uniforme tra i gradi di libertà dell’energia cinetica di un gas è ovvio. Per un oscillatore meccanico si possono sovrapporre i due grafici dell’energia potenziale e dell’energia cinetica: si vede subito che si tratta della stessa parabola rovesciata. Non credo che gli studenti trovino difficoltà a capire che, su un numero molto grande di periodi, l’energia media potenziale e cinetica risultano alla fine uguali, come pure a comprendere che lo stesso risultato vale anche per un oscillatore elettromagnetico (con i miei guaglioni l’ho fatto una volta sola, ed è andata bene; ma quella era una classe speciale). Per l’energia di rotazione, e per altre forme di energia, ci si rimette alla clemenza della corte.

Bibliografia

K. Mendelssohn: Sulla via dello zero assoluto, Il Saggiatore, Milano, 1966, cap. VI, pagg. 114-127

EDUMAT: Dalla pietra al microchip, cit., sezione 2.7

3.  Calori specifici

La solita trattazione che si trova in tutti i libri di testo. Un solo suggerimento: non limitarsi al solito calcolo relativo ai calori molari dei gas, ma trattare anche quello dei solidi (equiripartizione dell’energia in un oscillatore) con conseguente derivazione della legge di Dulong e Petit. Varrebbe anche la pena a questo punto di cominciare a introdurre le ragioni per cui alcuni gradi di libertà sono congelati, magari anticipando qualcosa sugli scambi di energia in quantità discrete.

Bibliografia

K. Mendelssohn: Sulla via dello zero assoluto, Il Saggiatore, Milano, 1966, cap. VI, pagg. 114-127

4.  L’entropia nella meccanica statistica

Mi sentirei di consigliare la trattazione di Born, che mi sembra semplice e chiara. Magari si può, dopo, ritornare un attimo allo spazio G e riprendere il discorso sull’ipotesi ergodica e l’invasione dello spazio delle fasi. Se poi qualcuno proprio vuol dire due parole sul teorema H e il raggiungimento nel tempo di uno stato di equilibrio, questo è il momento in cui lo può fare (io, però, lo sconsiglierei, anche perché, almeno ora, non ho la minima idea di come affrontare il problema del tempo di rilassamento).

Volendo tirare un po’ via si può anche seguire l’impostazione di Fermi e limitarsi a dire che è plausibile un legame tra entropia e probabilità, e quindi, tenuto conto che per sistemi indipendenti bla bla. La costante di Boltzmann sembra fatta apposta per mettere a posto le dimensioni fisiche.

Bibliografia

M. Born, cit., Appendice 35, pagg. 497-499

E. Fermi, Termodinamica, Boringhieri, Torino, 1958, cap. 4, pagg. 67-69

EDUMAT: Dalla pietra al microchip, cit., sezione 2.7

Yehuda Elkana e Yemina Ben-Menahem: Entropia, voce dell’Enciclopedia Einaudi, Torino, 1978, vol. 5, pagg. 463-494. Buon articolo riassuntivo dell’argomento, utile anche da un punto di vista storico

5.  Fluttuazioni

Almeno una volta nella vita bisogna parlarne. Se l’argomento è già stato trattato in precedenza (per esempio con la passeggiata dell’ubriaco) si possono solo richiamarne i risultati e ripuntualizzare la differenza tra fluttuazioni assolute e fluttuazioni relative. Altrimenti bisognerà inventarsi qualcosa, cioè introdurre un qualunque processo aleatorio (Poisson?) di cui sia semplice calcolare valor medio e varianza. Certo, bisogna conoscere il significato di tali indici, ma ciò fa parte dei prerequisiti necessari per affrontare l’argomento. Al limite si può sempre ricorrere a San Born.

Bibliografia

M. Born, cit., Appendice 4, pagg. 394-397

EDUMAT: Dalla pietra al microchip, cit., sezione 2.7

G. Battimelli, R. Stilli: Le vie della fisica, Laterza, Roma-Bari, 1998, vol I, unità VI, pagg. 396-398 (per la passeggiata dell’ubriaco) e pagg. 409-414 (per le fluttuazioni)

6.  I paradossi della reversibilità, la freccia del tempo e l’eterno ritorno

Qualcosa bisognerà pur dire, anche perché l’argomento è tra quelli che più hanno dato a umanisti e filosofi l’occasione per scrivere e arzigogolare. Quasi sempre a vanvera. Il mio consiglio è di seguire l’impostazione di Toraldo di Francia, che è semplice e chiara, ed ha anche il pregio di enfatizzare il ruolo del tempo di attesa. Se gli studenti hanno fatto un po’ di calcolo delle probabilità e conoscono il paradosso di Borel, e/o il modello "cani-pulci" degli Ehrenfest, non troveranno eccessive difficoltà a comprendere dove si va a parare. Per questa ragione consiglierei di affrontare l’argomento dopo le fluttuazioni.

Bibliografia

G. Toraldo di Francia: L’indagine del mondo fisico, cit., cap. 15, pagg. 294-309

Francesco Guerra: Reversibilità/irreversibilità; Enciclopedia Einaudi, Torino, 1978, vol. 11, pagg. 1067-1106. È un articolo "ottimo e abbondante", che discute in maniera approfondita, tra le altre cose, i paradossi della reversibilità

L. Piccinato, N. Pintacuda: Probabilità e statistica, Quaderno del CNR, 1985, cap. 2, pagg. 98-99 (per il paradosso di Borel)

G. Prodi: Metodi matematici e statistici, McGraw-Hill, Milano, 1992, cap. 5, pagg. 228-231 (per il modello cani-pulci)