Geometria intuitiva, geometria razionale

 
I documenti antichi (papiri egizi, tavolette di argilla con iscrizioni cuneiformi ritrovate in Mesopotamia) testimoniano l'esistenza di conoscenze matematiche abbastanza avanzate già intorno al 2000 a.C. All’inizio, però, non era considerata una scienza ma solo una tecnica per misurare e costruire. I primi a considerare come figure il “triangolo” o il “cerchio” furono i Greci, che scoprirono un processo fondamentale: la dimostrazione, vale a dire l’arte di giungere, mediante la logica, da certe premesse ad una conclusione. La geometria quindi, intesa come disciplina astratta e rigorosamente fondata su un metodo deduttivo, è una creazione originale dello spirito greco.

I filosofi della scuola ionica, soprattutto Talete di Mileto (al quale numerosi teoremi di geometria elementare vengono ancora oggi attribuiti, sia pure con molte riserve), furono i primi a intuire la possibilità di dimostrare le proprietà delle figure geometriche, cioè di dedurle da alcuni principi intuitivi. Arrivare, però, a scoprire le proprietà e i principi del mondo affidandosi soltanto alla propria intuizione o anche alla propria capacità visiva è sicuramente qualcosa di errato perché non sempre bisogna fidarsi senza aver dato prima una dimostrazione razionale.
Infatti non ci si può basare solo sul proprio intuito. Ad esempio volendo dimostrare una certa proprietà dei triangoli, usando un metodo intuitivo, si potrebbero prendere per campione un certo numero di triangoli ma, pur esaminandone il più possibile, non si avrebbe la certezza di aver dimostrato la proprietà poiché, essendo i triangoli infiniti, ce ne potrebbe essere uno che smentisce il nostro enunciato.
Non sempre poi il nostro intuito ci dà sensazioni esatte:  nella figura riportata in alto, tratta da: http://www.clarence.com/contents/tecnologia/illusioni/ per esempio, potrebbe sembrare che le rette in grigio siano deformate e invece sono  parallele fra loro.

Il metodo ipotetico deduttivo, (o assiomatico) il quale, partendo da una o più proposizioni accolte come premesse, tramite un ragionamento rigoroso che rispetta le regole della logica matematica e la verità di proposizioni precedentemente assunte come vere, permette di evincere una proposizione che ne è la necessaria conseguenza, cioè quello che ancora oggi si studia nelle scuole, sarà formalizzato nei 13 libri che costituiscono la geniale opera di Euclide solo nel 300 a.C. circa: Talete appartiene all'era dell'oralità.
Per un interessante sintesi sul metodo deduttivo si può visitare il sito http://www.cdh.it/matematica/deduzione.html