Un esempio di equazione
 
Radice: soluzione di un'equazione, che all'inizio è nascosta come la ridice di un albero. Indica anche la radice quadrata di un numero: anche in questo caso occorre estrarre il numero dal suo... nascondiglio!    

I quadrati e le radici sono uguali a un numero:
ax2 + bx = c

al- Khuwarizmi afferma: "La soluzione è:

  1.  dividi a metà il numero delle radici (il coefficiente del termine di primo grado), che in questo caso dà 5.
  2. Moltiplica questo per se stesso: il prodotto è 25.
  3. Aggiungilo a 39, ottenendo 64.
  4. Ora prendi la radice di questo, che è 8 e
  5.  sottrai da questo la metà del numero delle radici, 5;
  6.  il resto (la differenza) è 3.
  7.  Questa è la radice del quadrato che cercavi e il suo quadrato è 9."

Seguiamo il ragionamento passo per passo, usando le notazioni moderne.
Noi rappresentiamo un'equazione di secondo grado nella forma ax2 + bx + c = 0. (Nell'esempio  a=1; b= 10; c=-39).
Risolviamo un'equazione di questo tipo con la formula

Scriviamo la formula in forma equivalente, avvicinandoci però al tipo di risoluzione che viene data dal matematico arabo:

bulletDividiamo ogni termine del numeratore per 2a. Otteniamo


 

bullet

Portiamo 2a sotto radice. Otteniamo:


 

bullet

Semplifichiamo i termini sotto radice. Otteniamo:


 

bullet

Sostituiamo alle lettere a, b, c i valori del nostro esempio, tenendo inoltre conto del fatto che al- Khuwarizmi non considera radici negative o nulle Otteniamo

ed infine

Come si vede, il procedimento indicato da al- Khuwarizmi è proprio, con le distinzioni che abbiamo fatte, il nostro.
Alle regole risolutive con i radicali, come si è già detto, al-Khwarizmi fa seguire la dimostrazione geometrica.

 


 

Dimostrazione geometrica

 Si costruisce il quadrato di lato x

Sui suoi lati si costruiscono 4 rettangoli che hanno la seconda dimensione uguale a  10/4

La figura così ottenuta ha area x2+10x, quindi, in base a quello che sappiamo, l'area è 39.

Si completa poi la figura con quattro quadratini di lato 10/4

 Si ottiene così un quadrato di area 39+4*100/16=64, il cui lato misura 8. Si deduce quindi x = 8-10/2=8-5=3.

 

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