AREE E VOLUMI

  Il teorema di Pitagora   Volume piramide 1
  Teorema di Pick   Volume piramide 2
  Il Principio di Cavalieri

a= ipotenusa;

b= cateto minore,

c=cateto maggiore

Il teorema di Pitagora

Si possono disporre i triangoli rossi in modo che, essendo: 

Area del quadrato azzurro = (c-b)2  

Area ciascun triangolo rosso=bc/2;

Area quadrato esterno=a2 

valga la seguente relazione:

     

ossia: 

 

           

Il teorema vale non solo per i quadrati, ma anche per tutte le figure simili costruite sui lati di un triangolo rettangolo; per esempio la somma delle aree dei pesciolini costruiti sui cateti è uguale all’area del pesce grande costruito sull’ipotenusa.

                                                                

   

 

 

      Teorema di Pick

 Serve a calcolare l'area delle figure che si possono disegnare su un piano quadrettato (geopiano) magari fissando degli elastici intorno ai chiodi.

(Abbiamo preso come misura unitaria il lato di ognuno dei quadratini formati dai chiodi)

Si consideri questo numero:

N=(numero dei punti contenuti proprio all'interno del poligono)+(la metà del numero dei punti appartenenti  proprio al bordo del poligono)

Allora l'area A del poligono è :                

A = N -1                                                                  

 

 

 

 

Volume piramide 1

Che la formula per il volume della piramide sia

non stupisce, guardando  il modellino qui a fianco.

Una piramide regolare (a base quadrata e altezza pari alla metà della lunghezza del lato) è contenuta 6 volte in un cubo che poggia sulla stessa base e che ha altezza pari al doppio di quella della piramide. Dunque il volume di ognuna delle piramidine è pari ad un sesto del volume del cubo. Richiudendo al contrario il modellino si ottiene un dodecaedro rombico che ha volume doppio rispetto quello del cubo.

                                                                

 

Volume piramide 2

Queste tre piramidi - arancione, verde e celeste - sono tutte uguali fra loro ed hanno base quadrata; formano un cubo, che ha la stessa area di base e la stessa altezza di ogni piramide.

Dunque il volume del cubo è pari a tre volte quello di ogni piramide.

                                                            

 

 

 

Il Principio di Cavalieri

I due blocchi sono composti da strati; se si muove il blocco - per quanto è possibile - il volume del nuovo solido che si ottiene non cambia.

Questa è l'idea del principio di Cavalieri, in modo impreciso, ma abbastanza chiaro potremmo dire:

 - due solidi "affettati" in infinite fette di area uguale, hanno anche volume uguale -