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NUMERI AMICI

Curiosità

220 + 284 = 505 = 7 × 8 × 9
I Babilonesi erano molto interessati al prodotto di tre numeri consecutivi, tanto da costruire delle Tavole al riguardo.

Amici per la pelle
Ci sono coppie di numeri che sono più amici degli altri. Le cifre di questi numeri hanno la stessa somma.
Ad esempio, con 69 615 e 87 633 abbiamo
69 615 = 6+9+6+1+5 = 27
87 633 = 8+7+6+3+3 = 27
Altri esempi di questi amici per la pelle sono
100485 e 124155
1358595 e 1486845
[Da Progetto Polymath, Numeri. Sul sito è anche pubblicata una ricca bibliografia sui numeri amici]

Cartesio

René Descartes (La Haye, Francia, 31 marzo 1596 - Stoccolma, Svezia, 11 febbraio 1650), fu un insigne filosofo e un valente matematico che diede fondamentali contributi a questi due campi del sapere.
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Fermat

Pierre de Fermat (17 agosto 1601 - 12 gennaio, 1665) un matematico francese che ha dato importanti contributi allo sviluppo della matematica moderna.
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Eulero

Leonhard Euler (Basilea, 15 aprile 1707 - San Pietroburgo, 18 settembre 1783), noto in Italia come Eulero, è il matematico svizzero che viene considerato il più importante matematico dell'Illuminismo.
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Un programma per i numeri amici

Abbiamo preparato un programma in Visual Basic che

  • genera tutte le coppie dei numeri amici fino a 100000

  • genera tutti i divisori, con le rispettive somme, di entrambi i numeri di una qualsiasi coppia a scelta

Per scaricare il programma CLICCA QUI

 

 



Riconciliazione di Giacobbe ed Esaù, http://asv.vatican.va/it/visit/VR_affr/1p_2s_ovest_3.htm

Nella Bibbia, in Genesi 32,  Giacobbe regala a Esaù, in segno di amicizia, tra le altre cose, duecento capre e venti capri, duecento pecore e venti montoni; nel Medioevo venivano venduti talismani e amuleti d'amore che portavano incisa la coppia amicabile 220 - 284, gli arabi infine solevano incidere questi numeri sui frutti da scambiarsi prima di un incontro amoroso. Pitagora, alla domanda su cosa fosse un amico, rispondeva: "Uno che sia l'altro io, come sono 220 e 284".

Qual è il legame fra 220 e 284?

Consideriamo i divisori  di 220, compreso 1 ed escluso il numero stesso e calcoliamo la loro somma. Si ha:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Consideriamo i divisori  di 284, compreso 1 ed escluso il numero stesso e calcoliamo la loro somma. Si ha:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Si può vedere che, in una coppia di numeri amici, ognuno ha il potere di generare l'altro, e dunque possono ben rappresentare l'armonia, l'amicizia e l'amore.

Definizione

Due numeri si dicono  amici, o amicabili, quando, escludendo in entrambi i casi il numero stesso,  la somma dei divisori del primo è uguale alla somma dei divisori del secondo.


220 e 284 costituiscono la prima coppia di numeri amici, come abbiamo visto nota fin dall'antichità.
Il grande medico, astronomo e scienziato musulmano Thabit ibn Qurra, nel suo Libro per trovare in modo semplice i numeri amicabili, la seguente regola.
Trovare un numero n, maggiore di 1, che renda prime le tre espressioni seguenti:

a = 3 × 2n - 1     b = 3 × 2n-1 - 1     c = 9 × 22n-1 - 1

Allora la coppia formata da 2nab e 2nc sarà formata da numeri amicabili.
Tale regola, molto difficile da applicare, non fornisce tuttavia tutte le coppie di numeri amicabili, anzi funziona solo per n = 2, 4, 7 e per nessun altro valore minore di 20000.

n

a  

b  

c  

2nab  

2nc  

2 11   5   71   220   284  
4 47   23   1151   17296   18416  
7 383   191   73727   9363584   9437056  


Descartes trovò, in modo indipendente,  la coppia: 9363584, 9437056.
Nel 1636  Pierre de Fermat scoprì un'altra coppia di numeri amici: 17296, 18416.
Nel XVIII secolo il grande Eulero stilò una lista di 64 coppie di numeri amici (ma due di esse non lo sono)

La seconda coppia più piccola (1.184 e 1.210) fu identificata solo nel 1867 da un ragazzo di 16 anni, Niccolò Paganini, omonimo del celebre violinista. La coppia ritrovata dal ragazzo, il quale procedette per tentativi, era sempre sfuggita all'attenzione di tutti i matematici.

Ci sono 1427 numeri amici minori di 1010: la lista è visualizzabile, fra l'altro sul sito Mathematician's Secret Room di Hisanori Mishima (in inglese).
Attualmente (2006) sono conosciute  11222079 coppie di numeri amici.

 

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