numeri perfetti

SITO LICEO	PAGINA INIZIALE	MAPPA	MITO	LETTERATURA	NUMERI MAGICI - NUMERI MEMORABILI
EPICA	MATEMATICA	SOPRAVVIVENZE	BIBLIOGRAFIA	GLI AUTORI	NUMERI MAGICI - NUMERI MEMORABILI
					NUMERI PERFETTI

L'importanza dei numeri
Il senso del numero
Il culto del numero

gematria
scuola pitagorica

Nascita ed evoluzione del numero
Numeri triangolari
Numeri quadrati
Numeri amici
Numeri perfetti
Numeri fortunati
Numeri ricorrenti nei miti

Numeri abbondanti, numeri difettivi,
numeri perfetti

Nicomaco di Gerasa, intorno al 100 d.C., nel suo trattato Introduzione all' Aritmetica, divide i numeri in tre classi: i numeri abbondanti, nei quali la somma dei loro divisori è maggiore del numero stesso; difettivi quelli per cui la somma è minore; ed infine perfetti. In tutti e tre i casi si esclude dal computo il numero stesso.

Curiosità

Nicomaco non si limita a dare una definizione di numero in base alla proprietà della somma dei suoi divisori, ma aggiunge anche un giudizio morale. Secondo lui:

un numero abbondante produce eccesso, esagerazione ed abuso come di un animale che abbia dieci bocche o tre linee di denti;

un numero difettivo produce privazioni ed insufficienza, come di un animale che abbia un solo occhio;

un numero perfetto (che si trova fra questi) produce uguaglianza,, virtù, giusta misura, bellezza.

Nicomaco enunciò anche altre proprietà matematiche dei numeri perfetti, ma senza darne dimostrazione: alcune si sono dimostrate vere, ed altre no.
Ad esempio, è vero che i numeri perfetti finora conosciuti terminano sempre per 6 o per 8, ma non in modo alternato.

Paolo Uccello, Creazione degli animali e creazione di Adamo - Creazione di Eva e Peccato originale,
Firenze chiostro verde di Santa Maria Novella

Sei è un numero perfetto in se stesso e non perché Dio creò tutte le cose in sei giorni. E' vero piuttosto il contrario: Dio creò tutte le cose in sei giorni perché questo numero è perfetto e lo sarebbe stato anche se l'opera dei sei giorni non fosse mai esistita.
Agostino

Per approfondire
La trattazione più completa si trova su MacTutor History of Mathematics (in inglese)

Su Wikipedia si trovano interessanti relazioni fra i numeri perfetti e i numeri figurati.

Su Magia dei numeri è pubblicato l'elenco dei 39 numeri perfetti finora conosciuti insieme a loro altre interessanti proprietà.

Un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma dei suoi divisori, escluso il numero stesso.

I primi quattro numeri perfetti

6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

sembrano essere stati conosciuti fin dall'antichità. Pitagora sicuramente conosceva 6 e 28, ed i commentatori biblici osservarono che la perfezione di tali numeri si riflette nella creazione dell'universo: Dio creò il mondo in 6 giorni, e la luna ruota intorno alla terra con un periodo di 28 giorni.
Il primo documento riguardo ai numeri perfetti si trova negli Elementi di Euclide, nella Proposizione 36 del libro IX, e risale a circa il 300 a. C:

se quanti numeri vogliamo a partire dall'unità si susseguono in doppia proporzione, fino a quando la loro somma diventa un numero primo, e se tale somma moltiplicata per l'ultimo numero dà un certo numero, allora tale prodotto sarà perfetto.

Doppia proporzione significa che ogni numero nella sequenza è il doppio del precedente.
Ad esempio:

1 + 2 + 4 = 7 (numero primo)
7 (la somma) × 4 (l'ultimo) = 28 che è un numero perfetto.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (numero primo)
31 × 16 = 496 che è un numero perfetto.

La dimostrazione si trova su http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX36.html che contiene tutti i libri di Euclide (in inglese)

Trasformiamo la proposizione in forma più moderna

Usiamo la proprietà, già nota a Pitagora:
1 + 2 + 4 + ... + 2^k-1 = 2^k - 1 [tale relazione non è altro che la scomposizione della differenza di potenze simili]

Allora la proposizione diventa

Se, per qualche k > 1, 2^k-1 è primo, 2^k-1 ( 2^k - 1) è un numero perfetto.

In effetti i quattro numeri sono generati dalla formula 2^k-1 ( 2^k - 1) per k=2,3,5,7. Infatti

per k=2: 2¹ ( 2² - 1) = 2 × 3 = 6

per k=3: 2² ( 2³ - 1) = 4 × 7 = 28

per k=5: 2⁴ ( 2⁵ - 1) = 16 × 31 = 496

per k=7: 2⁶ ( 2⁷ - 1) = 64 × 127 = 8128

In tutti e quattro i casi il numero 2^k - 1 è primo.

Dimostrazione

Poniamo n = 2^k-1 ( 2^k - 1) e dimostriamo che n è un numero perfetto.
Se 2^k-1 è primo, i suoi divisori sono solo e soltanto 1 e 2^k-1.

I divisori di 2^k-1 sonole potenze di 2 da 2⁰ a 2^k-1: la loro somma è 2^k-1

I divisori di n sono i prodotti del tipo (2^k-1) 2⁰, (2^k-1) 2¹, (2^k-1) 2², ...(2^k-1) 2^k-2 per k da 0 a k-2 , e la cui somma è (2^k-1)( 2^k-1-1) [abbiamo escluso n dal computo dei divisori]

La somma dei divisori di N è pertanto:

2^k-1+(2^k-1)( 2^k-1-1) = (2^k-1)(1+2^k-1-1) = 2^k-1(2^k-1) = n

n risulta quindi essere un numero perfetto.

NOTA

Il teorema nulla dice riguardo ai casi in cui 2^k-1 non sia primo, né se esiste un numero perfetto dispari, che comunque, fino ad ora, non è stato trovato. Circa 2000 anni dopo Euclide, Eulero (1707-1783) ha però dimostrato che ogni numero perfetto pari deve avere la forma stabilita da Euclide.

Nel 1536, Hudalrichus Regius pubblicò che 2¹³ - 1 = 8191 è un numero primo: così si scopri il quinto numero perfetto = 2¹²(2¹³ - 1) = 33550336.
Nel 2001 è stato trovato il 39° numero perfetto: 2^13466916(2^13466917 - 1) che ha più di quattro milioni di cifre.

NUMERI MAGICI - NUMERI MEMORABILI