DERIVA DA

latino novem

ALCUNE PROPRIETA' MATEMATICHE

É un numero quadrato (3² = 9) e quindi la somma di due numeri triangolari consecutivi (3 + 6 = 9).
I primi nove numeri possono essere disposti in un quadrato magico di ordine tre.
E' il quarto numero fortunato.

Un numero è divisibile solo per 9 se e solo se lo è la somma delle sue cifre, ed anzi, per trovare il resto resto nella divisione per 9 di un numero, basta sommare le cifre del numero e ripetere il procedimento fino a quando si ottiene una sola cifra: se la cifra è 9 il resto è 0, altrimenti il resto è la cifra trovata.
Esempi:

• Dato 341 si ha: 3 + 4 + 1 = 8. Dunque il resto della divisione di 343 per 9 è 8.

• Dato 3458 si ha: 3 + 4 + 5 + 8 = 20; 2 + 0 = 2. Dunque il resto della divisione di 3458 per 9 è 2.

• Dato 342 si ha: 3 + 4 + 2 = 9. Dunque il resto della divisione di 342 per 9 è 0.

Prova del nove

Fu introdotta da Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, nel suo Liber Abaci nel 1202. Quindi in Europa fu importata dagli Arabi, ma molto probabilmente fu un'invenzione degli indiani.
Si tratta di un controllo per vedere se il risultato di un'operazione è corretto secondo gli schemi riportati a sinistra nella pagina. Iniziamo dalla moltiplicazione.
Come si può osservare, si costruisce una tabella in cui si pongono le somme delle cifre dei vari numeri, secondo la regola riportata nelle rispettive celle, fino ad ottenere una sola cifra, (se si ottiene 9 la cifra viene sostituita da 0). In altri termini, si sostituisce ad ogni numero il suo resto rispetto nella divisione per  9.

NOTA BENE  Se il risultato della moltiplicazione, anziché quello giusto 884, fosse stato 848, la prova del 9 avrebbe funzionato ugualmente.
Conclusione: se la prova del 9 è scorretta allora il risultato è certamente sbagliato; se la prova del 9 è corretta, allora non possiamo essere sicuri che il risultato sia quello giusto, anche se abbiamo aumentato la probabilità che lo sia.

Sostituire ad ogni numero il suo resto rispetto alla divisione per 9 equivale ad operare nell'aritmetica modulo 9.
(Anche nei linguaggi di programmazione l'operazione a mod b equivale a trovare il resto della divisione di a : b)
Un esempio concreto di aritmetica modulare è fornito dall'orologio analogico, in cui le ore sono numerate da 1 a 12 (ma noi a 12 sostituiamo lo 0). In questo caso, se sono le 8, fra 6 ore saranno le 2. In altri termini si effettua la somma non più spostandosi verso destra su una semiretta orientata, ma spostandosi, in verso orario, sull'orologio. (Nell'immagine a sinistra è presentato un orologio con 9 ore, che funziona come quello usuale solo che in questo caso, ad esempio, 8 + 6 = 5)
Lavorare in modulo 9 è particolarmente semplice visto che il resto della divisione per 9 di un numero si ottiene semplicemente addizionando le cifre del numero.

E' poi facile verificare che, se ad esempio addizioniamo vari numeri, e dividiamo la somma per 9, il resto è uguale alla somma dei resti dei singoli addendi sempre nella divisione per 9, anche se questa proprietà è valida per qualsiasi modulo. Ad esempio:
 (234 + 46 + 25) mod 9 = 305 mod 9 = 8
 234 mod 9 + 46 mod 9 + 25 mod 9 =  0 + 1 + 7= 8
Analogamente: (34 × 26) mod 9 = 884 mod 9 = 2 e (34 mod 9) × (26 mod 9) = (7 × 8)  mod 9 = 2
 Ecco che la prova del 9 acquista un nuovo significato.
approfondimento su Base cinque

Una circonferenza per 9 punti Nel triangolo ABC: H, K ed I sono i piedi delle altezze; O è l'ortocentro; L, M ed N sono i punti medi dei lati; P, Q ed R sono i punti medi rispettivamente dei segmenti AO, BO e CO. Per ogni triangolo esiste sempre una circonferenza che passa per questi 9 punti, nota come circonferenza di Feuerbach (Karl Wilhelm, matematico tedesco, 1800, 1834)

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